Ecuación de Bernoulli aplicada

Definición y principio

La ecuación de Bernoulli expresa el principio de conservación de la energía para un flujo estacionario, no viscoso e incompresible. A lo largo de una línea de corriente, la suma de las energías de presión, cinética y potencial por unidad de masa permanece constante: en un conducto horizontal, un aumento de velocidad implica una disminución de presión y viceversa.

El principio de Bernoulli es la base del teorema del mismo nombre, que es una forma especial de la ecuación de Euler derivada a lo largo de una línea de corriente.

Ecuaciones

A continuación se presentan las formas más utilizadas de la ecuación de Bernoulli, incluyendo los términos de pérdidas energéticas.

Forma de energía
Para un flujo incompresible en estado estacionario:

E = p₁ / ρ + v₁² / 2 + g h₁ = p₂ / ρ + v₂² / 2 + g h₂ – E_loss

donde:

E: energía por unidad de masa (J/kg o Btu/slug)
p: presión del fluido (Pa o psf)
ρ: densidad del fluido (kg/m³ o slug/ft³)
v: velocidad del fluido (m/s o ft/s)
g: aceleración de la gravedad (9.81 m/s² o 32.2 ft/s²)
h: altura con respecto a un plano de referencia (m o ft)
E_loss: pérdida de energía por unidad de masa (J/kg o Btu/slug)

Forma de altura (cabeza)
Dividiendo la ecuación anterior por g se obtienen términos con unidades de longitud:

h = p₁ / γ + v₁² / (2 g) + h₁ = p₂ / γ + v₂² / (2 g) + h₂ – E_loss / g

donde γ = ρ g es el peso específico del fluido (N/m³ o lbf/ft³). Esta forma recibe el nombre de “cabeza” porque todos los términos tienen dimensiones de columna de fluido.

Presión dinámica
Si se desprecia la variación de altura (flujo horizontal), la ecuación de Bernoulli se simplifica a:

p₁ + ½ ρ v₁² = p₂ + ½ ρ v₂² – p_loss

El término ½ ρ v² se conoce como presión dinámica y relaciona la velocidad con la presión recuperable en un punto de estancamiento. La presión total es la suma de la presión estática y la dinámica.

Tabla de referencia de presión dinámica

Valores de presión dinámica para agua (ρ = 1000 kg/m³ / 1.940 slug/ft³ a 20 °C) en función de la velocidad. Los cálculos se basan en la expresión p_d = ½ ρ v².

Velocidad (m/s)	Velocidad (ft/s)	Presión dinámica (Pa)	Presión dinámica (psi)
1 m/s	3.28 ft/s	500 Pa / 0.0725 psi	0.50 kPa / 0.073 psi
2 m/s	6.56 ft/s	2 000 Pa / 0.290 psi	2.0 kPa / 0.29 psi
5 m/s	16.4 ft/s	12 500 Pa / 1.81 psi	12.5 kPa / 1.81 psi
10 m/s	32.8 ft/s	50 000 Pa / 7.25 psi	50.0 kPa / 7.25 psi
15 m/s	49.2 ft/s	112 500 Pa / 16.3 psi	112.5 kPa / 16.3 psi
20 m/s	65.6 ft/s	200 000 Pa / 29.0 psi	200 kPa / 29.0 psi
25 m/s	82.0 ft/s	312 500 Pa / 45.3 psi	312.5 kPa / 45.3 psi
30 m/s	98.4 ft/s	450 000 Pa / 65.3 psi	450 kPa / 65.3 psi

Nota: 1 psi = 6894.76 Pa = 144 psf. Las conversiones imperiales utilizan ρ = 1.940 slug/ft³.

Aplicaciones típicas

La ecuación de Bernoulli, con sus adaptaciones, permite resolver numerosos problemas prácticos:

Descarga desde un depósito abierto (Teorema de Torricelli): Si el área superficial del depósito es mucho mayor que la del orificio de salida y la presión exterior es igual a la interior (depósito ventilado), la velocidad de salida es v₂ = √(2 g h), donde h es la diferencia de altura entre la superficie libre y el centro del orificio. Para un desnivel de 10 m, v₂ = 14.0 m/s.
Descarga desde un depósito presurizado: Cuando la presión del depósito (p₁) es distinta de la presión exterior (p₂), la velocidad de salida se calcula con:

v₂ = c · √{ (2 / [1 – (A₂/A₁)²]) · [ (p₁ – p₂) / ρ + g h ] }

donde c es el coeficiente de descarga del orificio.

Medidores de caudal: El tubo Venturi y la placa orificio utilizan la caída de presión en una restricción para determinar el caudal, aplicando Bernoulli junto con la ecuación de continuidad.
Tubo de Pitot: Mide la presión total en el punto de estancamiento (v = 0). La diferencia entre presión total y estática da la presión dinámica, de la que se obtiene la velocidad del flujo.
Válvulas reductoras de presión: La pérdida de energía a través de una válvula se puede modelar como E_loss = (p₁ – p₂) / ρ, despreciando cambios de velocidad y altura.

Coeficientes de descarga

Para tener en cuenta las pérdidas reales, la velocidad teórica obtenida con la ecuación de Bernoulli se multiplica por un coeficiente de descarga (c), determinado experimentalmente.

Geometría del orificio	Coeficiente de descarga (c)
Orificio de borde vivo	0.60 – 0.64
Orificio de borde redondeado	0.72 – 0.80
Orificio corto y liso	0.80 – 0.85
Boquilla de salida suave	0.95 – 1.00

Limitaciones de la ecuación

La forma simple de la ecuación de Bernoulli está sujeta a las siguientes restricciones:

Flujo estacionario (independiente del tiempo) y no viscoso (despreciable efecto de esfuerzos cortantes).
Fluido incompresible; en gases solo es válida para números de Mach bajos (Ma < 0.3).
Debe aplicarse a lo largo de la misma línea de corriente; si el flujo es irrotacional, la constante de Bernoulli es la misma para todas las líneas de corriente.
No considera pérdidas de carga por fricción, válvulas o cambios bruscos de sección; para incluir esos efectos se añade el término de pérdida ΔE o p_loss.
No es adecuada para flujos con recirculación, turbulencia intensa o intercambios de calor significativos (procesos no adiabáticos).

Ejemplo de cálculo

Problema: Un depósito presurizado contiene agua (ρ = 1000 kg/m³) a una presión manométrica p₁ = 0.2 MPa. La presión exterior es p₂ = 0.1 MPa. El orificio de descarga está 10 m por debajo de la superficie libre. La relación de áreas es A₂/A₁ = 0.01. Suponiendo un coeficiente de descarga c = 1.0 (orificio liso), determinar la velocidad de salida.

Solución:
Aplicamos la ecuación para depósito presurizado:

v₂ = √{ (2 / [1 – (A₂/A₁)²]) · [ (p₁ – p₂) / ρ + g h ] }

Sustituyendo:
A₂/A₁ = 0.01 → (A₂/A₁)² = 0.0001 → 1 – (A₂/A₁)² ≈ 0.9999
p₁ – p₂ = 0.2×10⁶ – 0.1×10⁶ = 0.1×10⁶ Pa
g = 9.81 m/s², h = 10 m

v₂ = √{ (2 / 0.9999) [ (0.1×10⁶ Pa) / (1000 kg/m³) + (9.81 m/s²)(10 m) ] }
v₂ = √{ 2.0002 [ 100 + 98.1 ] } ≈ √{ 2.0002 × 198.1 } ≈ √{ 396.2 } ≈ 19.9 m/s

La velocidad de salida es 19.9 m/s (65.3 ft/s). Si se hubiese despreciado la contribución de la altura (h ≈ 0), la velocidad sería 14.1 m/s, lo que demuestra la importancia de considerar todas las contribuciones energéticas.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la velocidad de salida del agua en un tanque abierto con una altura de 10 m respecto al orificio?

La velocidad teórica es 14.0 m/s (45.9 ft/s) según el teorema de Torricelli, suponiendo flujo ideal sin pérdidas.

¿Qué presión dinámica genera un flujo de agua a 5 m/s?

Un flujo de agua a 5 m/s (16.4 ft/s) desarrolla una presión dinámica de 12 500 Pa (12.5 kPa / 1.81 psi).

¿Qué diferencia de presión entre el depósito y el exterior se necesita para obtener 20 m/s de salida sin influencia de la altura?

Despejando de v = √(2 Δp / ρ), se requiere Δp = ½ ρ v² = 0.5 × 1000 × 400 = 200 000 Pa = 200 kPa (29.0 psi).

¿Cuál es el coeficiente de descarga típico para un orificio de borde vivo?

El coeficiente de descarga para un orificio de borde vivo varía entre 0.60 y 0.64, por lo que la velocidad real será aproximadamente un 60 % de la velocidad ideal.

¿En qué unidades se mide la forma de cabeza de la ecuación de Bernoulli?

Los términos en la forma de cabeza tienen unidades de longitud (m o ft) y representan la altura de columna del fluido en circulación.

¿Hasta qué velocidad del aire se puede considerar el flujo como incompresible al aplicar Bernoulli?

Para el aire en condiciones normales, la aproximación incompresible es aceptable hasta velocidades de aproximadamente 100 m/s (328 ft/s), lo que corresponde a un número de Mach cercano a 0.3.

Fuentes consultadas

engineeringtoolbox.com: https://www.engineeringtoolbox.com/bernouilli-equation-d_183.html
efunda.com: https://www.efunda.com/formulae/fluids/bernoulli.cfm
thermopedia.com: https://www.thermopedia.com/content/579/